Hallo,
Kann mir jemand bitte die Gleichung der Weizsäcker Modell erklären? Sie besteht ja aus fünf verschiedenen Termen (Volumenterm, Oberflächenterm ..etc.) die dann zu einer Gesamtbindungsenergie zusammengesetzt wird. Ich verstehe die einzelnen Termen nicht, wie sie entstehen.
Liebe Grüße und vielen Dank
Kann mir jemand bitte die Gleichung der Weizsäcker Modell erklären? Sie besteht ja aus fünf verschiedenen Termen (Volumenterm, Oberflächenterm ..etc.) die dann zu einer Gesamtbindungsenergie zusammengesetzt wird. Ich verstehe die einzelnen Termen nicht, wie sie entstehen.
Liebe Grüße und vielen Dank
Welch Zufall, das Weizsäcker-Modell war meine mündliche Prüfungfrage im Vordiplom.
Also, es soll die Bindungsenergie der Nukleonen (Protonen und Neutronen) im Atomkern beschrieben werden. Dafür haben Bethe und Weizsäcker das "Tröpfchenmodell" erfunden. Man stellt sich vor, dass sich der Atomkern wie ein Wassertropfen verhält, in dem Volumenkräfte, Oberflächenspannung und innere Kräfte wirken.
Z sei die Anzahl der Protonen im Kern (also die Ordnungszahl)
N sei die Anzahl der Neutronen im Kern
A sei die Anzahl der Nukleonen im Kern. (A = Z + N)
Gemäß dem Tröpfchenmodell setzt sich die Gesamtenergie des Kerns aus folgenden 5 Bestandteilen zusammen:
1. Die Volumenenergie. Sie ist proportional zur Anzahl der Nukleonen, da jedes Nukleon seinen Energiebeitrag mitbringt. Dieser kommt aus der starken Kernkraft. Da diese kurzreichweitig ist, spielen nur die jeweils nächsten Nachbarn eine Rolle und ist deshalb pro Nukleon konstant.
2. Die Oberflächenenergie. Wie bei einem Wassertropfen gibt es eine Oberflächenspannung. Die kommt daher, dass es an der Oberfläche nach innen mehr abstoßendeende Teilchen gibt, als nach außen. Da die Oberfläche einer Kugel proportional zum Volumen hoch 2/3 und damit auch zur Nukleonenzahl hoch 2/3 ist, gilt
3. Die Coulomb-Energie. Da nur die Protonen eine elektrische Ladung besitzen, zählt nur ihre Anzahl Z. Jedes Proton spürt die Coulombkraft der N-1 anderen Protonen. Die Coulumb-Energie von zwei Punktladungen ist ja bekanntlich proportional zu 1/r und damit proportional zur 3. Wurzel aus 1/Volumen und damit zur 3. Wurzel aus 1/A.
}{A^{\frac{1}{3}}})
4. Symmetrieterm. Ein Atomkern, der genausoviele Protonen Z wie Neutronen N besitzt, ist am stabilsten. Jede Differenz davon, sowohl in die eine wie in die andere Richtung, wirkt destabilisierend. Also ist der Symmetrieterm proportional zur Differenz Z - N. Da eine Abweichung in beiden Richtung destabilisierend ist, quadriert man die Differenz.
^2}{A})
.
Das A im Nenner dient nur zur Normierung (um das Quadrat aufzuheben).
5. Die Paarungsenergie. Man hat festgestellt, dass Kerne mit einer geraden Anzahl von Protonen und gerader Anzahl von Neutronen (gg) stabiler sind, als wenn eine davon ungerade ist (gu oder ug). Sind beide ungerade (uu), ist der Kern besonders instabil. Das berücksichtigt man durch die Paarungsenergie
, die für gg positiv und für uu negativ ist.
Nimmt man alle 5 Energien zusammen, und beachtet noch das Vorzeichen wegen Anziehung oder Abstoßung, so erhält man die Bethe-Weizsäcker-Formel:
Also, es soll die Bindungsenergie der Nukleonen (Protonen und Neutronen) im Atomkern beschrieben werden. Dafür haben Bethe und Weizsäcker das "Tröpfchenmodell" erfunden. Man stellt sich vor, dass sich der Atomkern wie ein Wassertropfen verhält, in dem Volumenkräfte, Oberflächenspannung und innere Kräfte wirken.
Z sei die Anzahl der Protonen im Kern (also die Ordnungszahl)
N sei die Anzahl der Neutronen im Kern
A sei die Anzahl der Nukleonen im Kern. (A = Z + N)
Gemäß dem Tröpfchenmodell setzt sich die Gesamtenergie des Kerns aus folgenden 5 Bestandteilen zusammen:
1. Die Volumenenergie. Sie ist proportional zur Anzahl der Nukleonen, da jedes Nukleon seinen Energiebeitrag mitbringt. Dieser kommt aus der starken Kernkraft. Da diese kurzreichweitig ist, spielen nur die jeweils nächsten Nachbarn eine Rolle und ist deshalb pro Nukleon konstant.
2. Die Oberflächenenergie. Wie bei einem Wassertropfen gibt es eine Oberflächenspannung. Die kommt daher, dass es an der Oberfläche nach innen mehr abstoßendeende Teilchen gibt, als nach außen. Da die Oberfläche einer Kugel proportional zum Volumen hoch 2/3 und damit auch zur Nukleonenzahl hoch 2/3 ist, gilt
3. Die Coulomb-Energie. Da nur die Protonen eine elektrische Ladung besitzen, zählt nur ihre Anzahl Z. Jedes Proton spürt die Coulombkraft der N-1 anderen Protonen. Die Coulumb-Energie von zwei Punktladungen ist ja bekanntlich proportional zu 1/r und damit proportional zur 3. Wurzel aus 1/Volumen und damit zur 3. Wurzel aus 1/A.
4. Symmetrieterm. Ein Atomkern, der genausoviele Protonen Z wie Neutronen N besitzt, ist am stabilsten. Jede Differenz davon, sowohl in die eine wie in die andere Richtung, wirkt destabilisierend. Also ist der Symmetrieterm proportional zur Differenz Z - N. Da eine Abweichung in beiden Richtung destabilisierend ist, quadriert man die Differenz.
Das A im Nenner dient nur zur Normierung (um das Quadrat aufzuheben).
5. Die Paarungsenergie. Man hat festgestellt, dass Kerne mit einer geraden Anzahl von Protonen und gerader Anzahl von Neutronen (gg) stabiler sind, als wenn eine davon ungerade ist (gu oder ug). Sind beide ungerade (uu), ist der Kern besonders instabil. Das berücksichtigt man durch die Paarungsenergie
Nimmt man alle 5 Energien zusammen, und beachtet noch das Vorzeichen wegen Anziehung oder Abstoßung, so erhält man die Bethe-Weizsäcker-Formel:
Vielen lieben Dank 😊. Wieso hat man denn eine Konstante Bindungsenergie von 8 MeV und eine konstante Dichte bei dem Weizsäcker Modell ?
Die konstante Dichte kommt daher, dass man sagt, dass Protonen und Neutronen in etwa das gleiche Volumen haben und dicht gepackt nebeneinander liegen (wie Orangen auf einem Stapel).
Ich weiß nicht, was du mit einer konstanten Bindungsenergie von 8 MeV meinst. Die Bindungsenergie hängt doch von N und Z ab.
Ich weiß nicht, was du mit einer konstanten Bindungsenergie von 8 MeV meinst. Die Bindungsenergie hängt doch von N und Z ab.
Ah, ich hab diese Bemerkung auf LEIFI gefunden. Die 8 MeV sind nicht die Bindungsenergie, sondern die Volumenenergie pro Nukleon. Also meine Propotionalitätskonstante 
. Ja gut, das ist eben der empirisch gefundene Wert dieser Konstanten.
